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斐波那契数列通项公式

日期:2017-03-27 来源:互联网
内容简介:

斐波那契数列通项公式(分类:教学视频)斐波那契数列通项公式斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契斐波那契数列通项公式以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=1,F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。

斐波那契数列通项公式

斐波那契数列通项公式
方法二:待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1, -rs=1。
n≥3时,有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
联立以上n-2个式子,得:
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。
∵s=1-r,F⑴=F⑵=1。
上式可化简得:斐波那契数列通项公式
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。
那么:
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。
(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和)。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。
=(s^n - r^n)/(s-r)。
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2。
则F(n)=(√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n};欢迎观看斐波那契数列通项公式的视频。(更新时间:2017.3.27  14:31)
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